Логарифми: формули та властивості

1. Що таке логарифми?
2. Логарифми: основні формули
3. Властивості логарифмів
4. Логарифми: типові завдання НМТ

Логарифми – важливий елемент шкільної програми з математики та часто зустрічаються у завданнях Національного мультипредметного тесту. Вони, як і інші поняття в математиці, виникли не випадково, а через нерозв’язність деяких математичних задач. Давайте детальніше розглянемо основні формули та властивості логарифмів.

Що таке логарифми?

Логарифм числа – це математична операція, яка є оберненою до піднесення до степеня. Формально, логарифм числа b за основою a (позначається як log⁡a b) – це показник степеня, до якого потрібно піднести основу a, щоб отримати число b. Наприклад, якщо ax=b, то x=log⁡a b.

Обчислюючи логарифм, пам’ятайте: логарифм – це показник, до якого треба піднести основу, щоб отримати число під знаком логарифма. Також важливо пам’ятати, що основа a повинна бути більшою за нуль і не дорівнювати одиниці, а число b завжди має бути додатним. Це забезпечує існування логарифма та правильність розрахунків.

Є кілька видів логарифмів:

Логарифми: основні формули

Школярам необхідно знати 5 основних формул логарифмів.

Властивості логарифмів

Для успішної роботи з логарифмами важливо знати їхні основні властивості:

1. Логарифм визначений лише для додатних чисел b>0. Це означає, що не можна логарифмувати від’ємні числа або нуль.
2. Якщо основа логарифма більше одиниці, то логарифмічна функція є зростаючою, а якщо менше одиниці – спадною.
3. Є сталі значення. Логарифм одиниці завжди дорівнює нулю (loga​1=0). Логарифм основи завжди дорівнює одиниці (loga​а=1).

Логарифми використовуються для розв’язування рівнянь, логарифмічних нерівностей та практичних задач.

Логарифми: типові завдання НМТ

Щоб підготуватися до іспиту, важливу розглянути та проаналізувати завдання з логарифмами, які зустрічалися раніше на ЗНО та НМТ. Ось кілька найтиповіших завдань минулих років.

Завдання 1

log3127=?

Щоб розв’язати це завдання, варто поставити собі питання: 3 у якому степені дає127?

log3127= log3 3–3

Далі варто запитати себе: 3 у якому степені дає 3–3?

log3127= log3 3–3 = -3

Завдання 2

Укажіть проміжок, якому належить число log2 9:

А. (0; 1).

Б. (1; 2).

В. (2; 3).

Г. (3; 4).

Д. (4; 5).

Спочатку потрібно знайти число менше ніж 9, яке є степенем 2. Звичайно, це число 8. Щоб швидко це знайти, варто вивчити табличку степенів.

log2 8 < log2 9 <

Тепер шукаємо число справа, яке ми можемо логарифмувати за основою 2 і щоб воно було більше ніж 9. Це буде 16.

log2 8 < log2 9 < log2 16

Тепер це легко обчислити: 3 < log2 9 < 4

Отже, відповіддю буде варіант Г.

Завдання 3

Обчисліть log816.

Щоб розв’язати цю задачу, важливо знати властивості степеня. 8=23, 16=24. Замінюємо 8 і 16 на 23 і 24.

Далі, якщо показник степеня в числі під знаком логарифма, його можна винести за знак логарифма, помноживши на нього. А якщо цей показник в основі логарифма, його також можна винести, але поділити на нього логарифм. Ці дві властивості будемо застосовувати одночасно. 4 виноситься в чисельник, а 3 – у знаменник.

43* log22 =43.

Відповідь:43.

Якщо у вас виникають труднощі з розумінням цієї теми та розв’язанням типових завдань, важливо вчасно звернутися по допомогу до репетитора з математики. Учитель визначить ваші труднощі та на їх основі розробить план підготовки до НМТ. Знайти учителя з математики або іншої дисципліни для індивідуальних занять можна на сайті BUKI School.