Логарифми – важливий елемент шкільної програми з математики та часто зустрічаються у завданнях Національного мультипредметного тесту. Вони, як і інші поняття в математиці, виникли не випадково, а через нерозв’язність деяких математичних задач. Давайте детальніше розглянемо основні формули та властивості логарифмів.
Що таке логарифми?
Логарифм числа – це математична операція, яка є оберненою до піднесення до степеня. Формально, логарифм числа b за основою a (позначається як loga b) – це показник степеня, до якого потрібно піднести основу a, щоб отримати число b. Наприклад, якщо ax=b, то x=loga b.
Обчислюючи логарифм, пам’ятайте: логарифм – це показник, до якого треба піднести основу, щоб отримати число під знаком логарифма. Також важливо пам’ятати, що основа a повинна бути більшою за нуль і не дорівнювати одиниці, а число b завжди має бути додатним. Це забезпечує існування логарифма та правильність розрахунків.
Є кілька видів логарифмів:
|
Різновид
|
Визначення
|
|
Звичайний або десятковий логарифм
|
Логарифм за основою 10, який записується як log10 b або log b. Здебільшого його використовують у науці та інженерії.
|
|
Натуральний
|
Логарифм за основою e (е приблизно дорівнює 2,718). Позначається In b. Цей різновид використовують у хімії, фізиці, біології.
|
|
З довільною основою
|
Вони мають будь-яку основу a та записуються loga b. Є універсальними й підходять для розв’язування задач у математиці.
|
Логарифми: основні формули
Школярам необхідно знати 5 основних формул логарифмів.
|
Назва формули
|
Запис
|
Застосування
|
|
Формула переходу до іншої основи
|
loga b = logc b / logc a, де c – нова основа
|
Дає змогу змінювати основу логарифма, що часто необхідно під час розв’язання задач.
|
|
Логарифм добутку
|
loga(b*c) = loga b + loga c
|
Використовується для спрощення виразів, де логарифмується добуток кількох чисел.
|
|
Логарифм частки
|
loga(b/c) = loga b – loga c
|
Допомагає розкладати логарифм частки на різницю двох логарифмів.
|
|
Логарифм степеня
|
loga (bc) = c*loga b
|
Дає змогу «винести» показник степеня перед логарифмом, що може спростити обчислення.
|
|
Логарифм кореня
|
logab c = (1/b)*loga c
|
Використовується для роботи з логарифмами коренів.
|
Властивості логарифмів
Для успішної роботи з логарифмами важливо знати їхні основні властивості:
- Логарифм визначений лише для додатних чисел b>0. Це означає, що не можна логарифмувати від’ємні числа або нуль.
- Якщо основа логарифма більше одиниці, то логарифмічна функція є зростаючою, а якщо менше одиниці – спадною.
- Є сталі значення. Логарифм одиниці завжди дорівнює нулю (loga 1 = 0). Логарифм основи завжди дорівнює одиниці (loga a = 1).
Логарифми використовуються для розв’язування рівнянь, логарифмічних нерівностей та практичних задач.
Логарифми: типові завдання НМТ
Щоб підготуватися до іспиту, важливу розглянути та проаналізувати завдання з логарифмами, які зустрічалися раніше на ЗНО та НМТ. Ось кілька найтиповіших завдань минулих років.
Завдання 1
Завдання 2
Завдання 3
Якщо у вас виникають труднощі з розумінням цієї теми та розв’язанням типових завдань, важливо вчасно звернутися по допомогу до репетитора з математики. Учитель визначить ваші труднощі та на їх основі розробить план підготовки до НМТ. Знайти учителя з математики або іншої дисципліни для індивідуальних занять можна на сайті BUKI School.
