Логарифмы – важная часть школьной программы по математике, и они часто встречаются в заданиях Национального мультипредметного теста. Они, как и другие понятия в математике, возникли не случайно, а из-за неразрешимости некоторых математических задач. Чтобы разобраться с формулами и свойствами логарифмов, читайте этот материал.
Что такое логарифмы?
Логарифм числа – это математическая операция, которая обращена к подъему к степени. Формально логарифм числа b в основании a (обозначается как logа b) – это показатель степени, к которой нужно поднять основание a, чтобы получить число b. Например, если aх=b, то x=logа b.
При вычислении логарифма нужно помнить, что логарифм – это показатель, к которому необходимо поднять основание, чтобы вышло число под знаком логарифма. Также важно помнить, что основание a должно быть больше нуля и не равно единице, а число b всегда должно быть положительным. Это обеспечивает существование логарифма и правильность расчетов.
Есть несколько видов логарифмов:
|
Разновидность
|
Определение
|
|
Обычный или десятичный логарифм
|
Логарифм с основанием 10, который записывается как log10 b или loga b. В большинстве своем его используют в науке и инженерии.
|
|
Натуральный
|
Логарифм с основанием e (е примерно равен 2,718). Обозначается In b. Эта разновидность используется в химии, физике, биологии.
|
|
С произвольным основанием
|
Они имеют любое основание и записываются loga b. Являются универсальными и подходят для решения задач в математике.
|
Логарифмы: основные формулы
Школьникам необходимо знать 5 основных формул логарифмов.
|
Название формулы
|
Запись
|
Применение
|
|
Формула перехода к другому основанию
|
loga b = logc b / logc a, где c – новое основание
|
Позволяет менять основание логарифма, что часто необходимо при решении задач.
|
|
Логарифм произведения
|
loga(b*c) = loga b + loga c
|
Используется для упрощения выражений, где логарифмируется произведение нескольких чисел.
|
|
Логарифм частного
|
loga (b/c) = loga b – loga c
|
Помогает разложить логарифм частного на разность двух логарифмов.
|
|
Логарифм степени
|
loga (bc) = c*loga b
|
Позволяет «вынести» показатель степени перед логарифмом, что может упростить вычисления.
|
|
Логарифм корня
|
log(ab) c = (1/b)* loga c
|
Используется при работе с логарифмами корней.
|
Свойства логарифмов
Чтобы научиться работать с логарифмами, необходимо знать их основные свойства:
- Логарифм определен только для положительных чисел 0. Это означает, что нельзя логарифмировать отрицательные числа или ноль.
- Если основание логарифма больше единицы, то логарифмическая функция возрастающая, а если меньше единицы – нисходящая.
- Есть устоявшиеся значения. Логарифм единицы всегда равен нулю (loga 1 = 0). Логарифм основания всегда равен единице (loga a = 1).
Логарифмы используются для решения уравнений, логарифмических неравенств и практических задач.
Логарифмы: задачи НМТ
Чтобы подготовиться к экзамену, важно рассмотреть и проанализировать задачи с логарифмами, которые были на ВНО и НМТ раньше. Вот несколько типичных задач прошлых лет.
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Если у вас возникают трудности с пониманием этой темы и решением типичных задач, важно своевременно обратиться за помощью к репетитору по математике. Учитель определит ваши трудности и разработает план подготовки к НМТ, исходя из них. Найти учителя по математике или другой дисциплине для индивидуальных занятий можно на сайте BUKI School.
